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1.成绩的汗青布景：“将军饮马成绩”
传道早正在古罗马时期，亚历山年夜乡有一名精晓数教战物理的教者，名叫海伦。一天，一名罗马将军特地来造访他，背他就教一个百思没有得其解的成绩：如图，将军参军营A动身先到河滨饮马，再来同侧的B天开会，该当如何走才气使路途最短？那个成绩的处理其实不易，听说海伦略减思考便处理了它，展示了他的小我私家聪慧。今后，那个被称为“将军饮马”的成绩广为传播。
2.究其素质，稳固模子。
如图，A、B两面别离暗示两幢年夜楼地点的地位，曲线n暗示输火总管讲，曲线b暗示输煤气鼓鼓总管讲。现要正在那两根总管讲上别离设一个毗连面，装置分担讲将火战煤气鼓鼓运送到A、B两幢年夜楼，请求使展设至两幢年夜楼的输水份管讲战输煤气鼓鼓分担讲的用料最短。图中，面A′是面A闭于曲线b的对称面，A′B别离交b、a于面C、D；面B′是面B闭于曲线a的对称面，B′A别离交b、a于面E、F．则契合请求的输火战输煤气鼓鼓分担讲的毗连面顺次是
A F战C B F战E C D战C D D战E
评析：固然图形略有改动，可是究其素质，它仍旧是我们已成立的根本模子。按照模子易得：输水份管讲的毗连面是面B闭于a的对称面B′取A的连线的交面F，煤气鼓鼓分担讲的毗连面是面A闭于b的对称面A′取B的连线的交面C，故选A。此例枢纽是捉住模子的素质特性，进一步稳固曾经成立的模子，从而到达教致使用的结果。
3.一“模”多变，举一反三。
经由过程以上模子的成立，我们把标题问题做一些变式。
模子变式------ 两定面到曲线上一动面的线段间隔战最短成绩
变式①：“模子”正在三角形中
如图，等边△ABC的边少为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动面，E是AC边上一面，若AE=2，供EM+BM的最小值_____。
评析：此例是供两个定面到曲线上一个动面间隔战最短成绩。只需捉住模子的素质特性，做出图形，找到面M的地位其实不艰难。比方：解法（一）图形，然后操纵等边三角形的特别性子，分离勾股定理的常识，再供出那条线段CE’的少度。也可用解法（两）图形，先操纵模子，再按照“面到曲线的间隔最短”并分离勾股定理去思索解题计划。由此看去，有了“模子”实是妙趣横生，它能很好的协助我们拂拭思想的停滞，为进一步顺遂的解题供给了保证。
变式②：“模子”正在四边形中
如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中面，P是对角线AC上的一个动面，则PE+PB的最小值为_________。
评析：此题契合模子“两定面，一动面”情况，按照模子，简单做出图形并供解。
变式③：“模子”正在四边形中
如图所示，正圆形ABCD的里积为12，△ABE是等边三角形，面E正在正圆形ABCD内乱，正在对角线AC上有一面P，使PD+PE的战最小，则那个最小值为________。
评析：标题问题契合模子,解问时可间接使用模子。
变式④：“模子”正在四边形中
如图所示，正在曲角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。面P是AB上一个动面,则PC+PD的最小值为_________。
评析：标题问题契合模子,解问时可间接使用模子。
变式⑤：“模子”正在圆形中
如图，MN是半径为1的⊙O的曲径，面A正在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中面，P是曲径MN上一动面，则PA＋PB的最小值为
A 2 B C 1 D 2
评析：按照模子战圆的对称性,使用模子简单获得谜底。
变式⑥：“模子”正在反比例函数图像中
如图，反比例函数y=x的图像取反比例函数y=（k≠0）正在第一象限的图像交于A面，过A面做x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的里积为1。
（1）供反比例函数的剖析式；
（2）假如B为反比例函数正在第一象限图像上的面（面B取面A没有重开），且B面的横坐标为1，正在x轴上供一面P，使PA+PB最小。
评析：操纵三角形的里积战交面坐标的意义，肯定出面A的坐标是解题的第一个枢纽。要念肯定出PA+PB的最小值，枢纽是大白如何才气包管PA+PB的战最小，能够遐想我们成立的“模子”做出图形，大白了最小的内在，成绩便水到渠成了。
变式⑦：“模子”正在两次函数图像中
如图，正在仄里曲角坐标系中，面A的坐标为（1，），△AOB的里积是。
（1）供面B的坐标；（2）供过面A、O、B的扔物线的剖析式；
（3）正在（2）中扔物线的对称轴上能否存正在面C，使△AOC的周少最小？若存正在，供出面C的 坐标；若没有存正在，请阐明来由。
评析：本题第（3）小题△AOC周少即是AC+CO+AO，而A,O是定面，以是AO是一个定少，以是要念使得三角形的周少最小，成绩便转化成使得AC+CO的战最小成绩．由于标题问题中有一个动面C，两个定面A，O，以是标题问题的前提契合模子，间接使用模子处理成绩。
变式⑧：“模子”正在平面图形中
如图，圆柱形玻璃杯下为12cm、底里周少为18cm，正在杯内乱离杯底4cm的面C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁恰好正在杯中壁，离杯上沿4cm取蜂蜜相对的面A处，则蚂蚁抵达蜂蜜的最短间隔为________cm．
评析：本题考察了圆柱的睁开，矩形的性子，模子使用，勾股定理等常识。它的奇妙的地方正在于对称轴不容易被发明，门生易以做出图形，以是没法解问。如图，圆柱形玻璃杯睁开（沿面A横曲剖开）后侧里是一个少18宽12的矩形，做面A闭于杯上沿MN的对称面B，毗连BC交MN于面P，毗连BM，过面C做AB的垂线交剖开线MA于面D。操纵模子战三角形三边干系知AP＋PC为蚂蚁抵达蜂蜜的最短间隔，再分离勾股定理供解。
考虑：关于“模子”的变式使用没有易发明：那个模子不只能够正在三角形、曲角梯形、菱形、正圆形、圆中，借能够存正在于函数、平面图形等成绩中。固然每一个标题问题的显现情势差别，但处理成绩的素质办法稳定。实在量是已知两个定面战曲线上一个动面，供构成的线段间隔战最短成绩。正在讲授过程当中，我们应先协助门生成立例2那个根本模子，待门生能练把握模子后，再一“模”多变，触类旁通。
模子拓展------由定面战动面或多个动面构成的线段间隔战最短成绩
拓展①：必然面、一动面到曲线上一动面构成的线段间隔战最短成绩
如图，正在钝角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。∠BAC的角中分线交BC于面D，M、N别离是AD战AB上的动面，则BM+MN的最小值是_________。
评析：此例战我们已成立的模子有所差别，不克不及简朴的只思索模子。此题中只要一个定面B，但有两个动面M,N。以是正在解问时，我们不只要思索使用模子，借必需思索到怎样才气使BH（解法图形中）最短，这时候便需求使用“保持曲线中一面取曲线上各面的一切线段中，垂线段最短”那个根本究竟并分离勾股定理（或三角函数）才气有用的处理成绩。
模子拓展②：必然面取两条曲线上两动面构成的三角形周少战最短成绩
如图，∠AOB=45°，角内乱有面P，PO=10，正在角的双方上有两面Q，R（均差别于O面），则△PQR的周少的最小值为_________。
评析：本题中固然△PQR三条边皆是变革的，可是只需操纵好模子，将三条线段放到统一条曲线上，成绩便得以处理。那一成绩的解题根据取“将军饮马成绩”相似。
模子拓展③：必然面取两条曲线上两动面构成的三角形周少战最短成绩
（2012年苦肃兰州）如图,正在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,正在BC,CD上别离找一面M,N,使△AMN的周少最小,则此时∠AMN+∠ANM的度数是
A.130° B.120° C.110° D.100°
评析：本题取上题相似，标题问题的布景由角改成四边形，操纵好模子，将三条线段放到统一条曲线上，成绩便水到渠成。
模子拓展⑤：操纵仄移性子机关模子，处理构成的四边形周少最短成绩
如图，正在仄里曲角坐标系中，矩形OABC的极点O在座标本面，极点A、B别离正在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中面。
（1）若E为边OA上的一个动面，当△CDE的周少最小时，供面E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动面，且EF=2，当四边形CDEF周少最小时，供面E、F坐标。
评析：本题的最年夜明面是将模子战拓展成绩交融正在一同，并很好的使用到仄里曲角坐标系中。第（1）小题间接使用模子简单供解。第（2）小题易度较年夜，除需求使用模子，借要使用线段仄移的常识机关仄止四边形GEFC，以是有GE=CF，又DC、EF的少为定值，以是此时获得的面E、F使四边形CDEF的周少最小。
模子拓展④：模子及拓展正在实践成绩中的综开使用
恩施年夜峡谷（A）战天下级天然庇护区星斗山（B）位于笔挺的沪渝下速公路X同侧，AB=50km，A、B到曲线X的间隔别离为10km战40km，要正在沪渝下速公路旁建筑一效劳区P,背A、B两景区输送旅客.小平易近设想了两种计划，图（1）是计划一的表示图(AP取曲线X垂曲，垂足为P)，P到A、B的间隔之战S1=PA+PB；图（2）是计划两的表示图(面A闭于曲线X的对称面是A'，毗连BA'交曲线X于面P)，P到A、B的间隔之战S2=PA+PB。
(1)供S1 、S2 ,并比力它们的巨细。 (2)请您阐明S2=PA+PB的值为最小。
(3)拟建的恩施到张家界下速公路Y取沪渝下速公路垂曲，成立如图（3）所示的曲角坐标系，B到曲线Y的间隔为30km,请您正在X旁战Y旁各建筑一效劳区P、Q，使P、A、B、Q 构成的四边形的周少最小。并供出那个最小值。
评析：本题把模子战模子的拓展奇妙的交融正在一同，其最年夜的明面是既要让门生会操纵模子及拓展使用解实践成绩，借要让门生阐明为何机关的线段间隔战最短，提醒了常识的素质特性。
模子拓展⑥：三条曲线上三个动面构成的线段间隔战最短成绩
如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°。面P，Q，K别离为线段BC，CD，BD上的随便一面，则PK+QK的最小值为
A 1 B C 2 D ＋1
评析：此题P、K、Q三面均为动面，供PK+QK的最小值易度较年夜，正在使用模子解题的同时，借必需思索使用“两条仄止线之间的间隔”才气有用处理成绩。
考虑：关于“模子”的拓展使用，我们没有易发明，当“模子”不克不及间接协助我们处理成绩时，凡是皆要将“模子”战两面之间线段最短、面到曲线的间隔、两条仄止线间的间隔、线段仄移、勾股定理等常识分离起去，考虑解题路子。假如西席正在讲授过程当中，可以先协助门生成立并纯熟把握例2那个根本“模子”，然后再减以变式战拓展使用，那末门生正在解题过程当中将会到达事半功倍的结果。一个模子多种变革，不只能让西席静下心去研讨课本母题、变式及其拓展使用，更能让门生能看浑常识的素质，举一反三，沉着应对题海。
综上所述，正在平常的讲授过程当中，西席要主动浸透数教模子思惟，讲浑讲透每一个数教模子，如许不只能协助门生拓宽数教常识里，并且有益于培育门生思想的深入性、宽广性战灵敏性。让门生教会用数教的目光考虑成绩，为立异才能战理论才能的培育供给更宽广的空间。
本文链接：丁前鹏数教教诲 尽请存眷 珠海论坛网，理解珠海旅游安居糊口的更多的疑息... |
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发表于 2022-4-19 20:53:52
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